옛날에 이런 글을 썼던 기억은 나는데 이전 과정에서 빼먹었는지 글을 못 찾겠다. 검색했던 자료도 안 남아있고. 나름 열심히 썼었는데 그만큼 자세하게 쓰긴 힘드니까 대충 기억나는대로만 정리.
MATLAB 코드도 짰었던 것 같은데 없네…
출현확률이 p(=0.75%)인 가차(=[천계에서 내려온 자] 시온)을 반드시 뽑으려면 최소한 몇 번을 돌려야 할까? 이것은 가차게임을 하는 사람들이 언제나 묻는 질문이다. 물론 매번 독립시행이므로 반드시, 즉 P(A)=1 는 유한번의 시행에서는 불가능한 것은 자명하나 현실적으로 거의 확실하다고 말할 수 있는 값을 원하는 질문이다.
통계학상으로, 대체로 확실하다고 말하는 기준은 95%이상의 확률로 옳을 때 그러하다고 말하며 이 때의 확률을 유의수준이라고 한다. (99%를 쓰는 경우도 있다. 하지만 교과서 말고는 못봤다.) 아무튼 위의 질문에 대한 답은 이러한 기준에서 “95%이상의 확률로 뽑기 위한 횟수”가 될 것이다.
그렇다면 이것을 어떻게 풀어야 할까? 이러한 확률변수의 분포를 구하고자 “가차확률분포” 같은 개념도 구상했었는데 결론부터 말하자면 이미 오래전에 연구된 확률분포로서 그 이름은 “geometric distribution” 이라 한다. 이 확률분포의 특징은 가차 문제 그대로, 확률 p인 베르누이 시행을 처음 성공할 때까지 반복하는 것이다. pdf 는 X회에 처음 성공할 확률, cdf 는 X회 이내에 성공할 확률이 된다. 즉, X회 가차를 돌렸을 때 뽑을 확률은 geometric distribution 의 cdf 를 구하는 문제이며 위의 문제애 대한 답은 이 “cdf 가 95%를 넘는 최소의 X값” 이다.
사실 이 분포는 cdf 가 간단하기 때문에 matlab 이나 wolfram alpha 등을 이용하면 더 복잡한데 (language syntax 에 익숙하지 않다면) 그래도 이것을 활용하는 편이 응용하기에 좋으므로 wolfram alpha 를 이용해서 풀어보았다. MATLAB 은 지금 없어서 못함. p 값을 바꾸면 다른 문제에도 활용할 수 있다.
https://www.wolframalpha.com/input/?i=solve+cdf+of+geom%3D0.95,+p%3D0.75%2F100+for+x
X=397.87, cdf>0.95 이므로 398회를 하면 95%이상 확률로 뽑을 수 있다고 말할 수 있다.
즉 그러니까 이게 얼마냐면…
![[천계에서 내려온 자] 시온](https://fan-death.azurewebsites.net/wp-content/uploads/2017/04/Screenshot_2017-04-30-17-55-50.png)
10연차에 3만원이라 해서 단차에 3천원이라 하고 3천원*398회=119만4천원…? 실제론 10연차가 3만원보다 비싸서 이보다 더 비싸다.
물론 398회나 돌리진 않았고 정확히 10연차 7번, 70연차에 얻었다… 아니 반값 단차도 있었을 테니까 71회인가?
아무튼 이게 중요한 건 아니고, geometric 란 이름이라서 기하학(geometry)과 관련이 있나 싶었는데, 결론부터 말하면 큰 관계는 없고 geometric series 에서 온 이름인데 geometric series 는 유럽인들이 geometry 책에서 많이 나온다고 geometric seires 라고 지었댔나…? 이 부분은 저번에 검색해보긴 했는데 그때도 확실한 레퍼런스는 없었고 추측 정도였던 것 같다.
기하(geometry)는 고대로부터 측량에 많이 쓰였고 측량에는 닮음이 많이 쓰였기 때문에 비례관게는 기하학적(geometric)인 것으로 여겨졌다. 이러한 배경에서 원소들 사이에 비율이 일정한 등비수열은 기하학적(geometric)인 수열이라고 여겨져 geometric series 란 이름이 붙었다.
… 는 추측이 스택 오버플로우에 있던데 그럴듯한 것 같다.
참조
