Category: 가차 보고서

옛날에 이런 글을 썼던 기억은 나는데 이전 과정에서 빼먹었는지 글을 못 찾겠다. 검색했던 자료도 안 남아있고. 나름 열심히 썼었는데 그만큼 자세하게 쓰긴 힘드니까 대충 기억나는대로만 정리.

MATLAB 코드도 짰었던 것 같은데 없네…

출현확률이 p(=0.75%)인 가차(=[천계에서 내려온 자] 시온)을 반드시 뽑으려면 최소한 몇 번을 돌려야 할까? 이것은 가차게임을 하는 사람들이 언제나 묻는 질문이다. 물론 매번 독립시행이므로 반드시, 즉 P(A)=1 는 유한번의 시행에서는 불가능한 것은 자명하나 현실적으로 거의 확실하다고 말할 수 있는 값을 원하는 질문이다.

통계학상으로, 대체로 확실하다고 말하는 기준은 95%이상의 확률로 옳을 때 그러하다고 말하며 이 때의 확률을 유의수준이라고 한다. (99%를 쓰는 경우도 있다. 하지만 교과서 말고는 못봤다.)  아무튼 위의 질문에 대한 답은 이러한 기준에서 “95%이상의 확률로 뽑기 위한 횟수”가 될 것이다.

그렇다면 이것을 어떻게 풀어야 할까? 이러한 확률변수의 분포를 구하고자 “가차확률분포” 같은 개념도 구상했었는데 결론부터 말하자면 이미 오래전에 연구된 확률분포로서 그 이름은 “geometric distribution” 이라 한다. 이 확률분포의 특징은 가차 문제 그대로, 확률 p인 베르누이 시행을 처음 성공할 때까지 반복하는 것이다. pdf 는 X회에 처음 성공할 확률, cdf 는 X회 이내에 성공할 확률이 된다. 즉, X회 가차를 돌렸을 때 뽑을 확률은 geometric distribution 의 cdf 를 구하는 문제이며 위의 문제애 대한 답은 이 “cdf 가 95%를 넘는 최소의 X값” 이다.

사실 이 분포는 cdf 가 간단하기 때문에 matlab 이나 wolfram alpha 등을 이용하면 더 복잡한데 (language syntax 에 익숙하지 않다면) 그래도 이것을 활용하는 편이 응용하기에 좋으므로 wolfram alpha 를 이용해서 풀어보았다. MATLAB 은 지금 없어서 못함. p 값을 바꾸면 다른 문제에도 활용할 수 있다.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=solve+cdf+of+geom%3D0.95,+p%3D0.75%2F100+for+x

X=397.87, cdf>0.95 이므로 398회를 하면 95%이상 확률로 뽑을 수 있다고 말할 수 있다.

즉 그러니까 이게 얼마냐면…

10연차에 3만원이라 해서 단차에 3천원이라 하고 3천원*398회=119만4천원…? 실제론 10연차가 3만원보다 비싸서 이보다 더 비싸다.

물론 398회나 돌리진 않았고 정확히 10연차 7번, 70연차에 얻었다… 아니 반값 단차도 있었을 테니까 71회인가?

아무튼 이게 중요한 건 아니고, geometric 란 이름이라서 기하학(geometry)과 관련이 있나 싶었는데, 결론부터 말하면 큰 관계는 없고 geometric series 에서 온 이름인데 geometric series 는 유럽인들이 geometry 책에서 많이 나온다고 geometric seires 라고 지었댔나…? 이 부분은 저번에 검색해보긴 했는데 그때도 확실한 레퍼런스는 없었고 추측 정도였던 것 같다.

기하(geometry)는 고대로부터 측량에 많이 쓰였고 측량에는 닮음이 많이 쓰였기 때문에 비례관게는 기하학적(geometric)인 것으로 여겨졌다. 이러한 배경에서 원소들 사이에 비율이 일정한 등비수열은 기하학적(geometric)인 수열이라고 여겨져 geometric series 란 이름이 붙었다.

… 는 추측이 스택 오버플로우에 있던데 그럴듯한 것 같다.

참조

geometric distribution

NOX가 이걸 해냅니다

http://bbs.ruliweb.com/news/board/1004/read/2110154

이거 보고 재밌을 거 같아서… 가 아니라 답답해서 한번 정리해봄.

링크 글을 요약하면 공지된 당첨확률이 1.44%인 5640 회 시행에서 당첨(5성)이 42회.  그러므로 실제 확률이 0.745%다 라는 주장이다.

결론부터 말하면, 확률조작이 맞다.(유의확률 5%), 그리고 확률에 대한 MLE(Maximum Likelihood Estimation)는 0.745%, 95% 신뢰구간은 [0.54% 1.01%]이다.

일단 모집단을 분석해보자. 당첨확률 0.0144(=1.44%) 에 독립시행이라고 한다면 모집단은 Binomial Distribution 을 따른다. 즉 B(N=5640, P=0.0144)이다.

여기에는 별 논란의 여지가 없다. 컴퓨터로 계산되는 랜덤 숫자는 난수표를 사용하고 이것은 seed의 우연성만 보장된다면 이상적인 수학적 확률에 해당한다. 만일 이것이 성립하지 않는다면 그냥 처음부터 랜덤이 아니므로 별 할 말이 없다.

다음으로 pmf(확률질량함수) 를 보자. X=당첨횟수 별 확률을 도시한 것이다.

평균(81.2)을 근처로 대칭인 그래프가 나오는데… 딱 봐도 42는 평균에서 너무 멀다. 한 3-sigma 쯤 되어보인다. 이것만 봐도 충분히 주작이라고 해도 되는데 더 나아가서 z-test 도 해보자.

z-test 란 자신의 주장을 h1 이라 하고 그것의 부정을 h0 라고 했을 때, h0가 참이라고 가정하면 관측한 사건이 불가능함(통계적으로 말하자면 해당 사건이 일어날 확률이 작음)을 보임으로서 h0가 거짓임을 보이는(즉 h0의 부정인 h1이 참임을 보이는) 테스트이다. 즉, 이 예에서는 당첨확률이 1.44%일 때 당첨횟수 42회가 일어날 확률을 계산하고, 이 값이 아주 작은 값임을 보임으로서 당첨확률이 1.44%라는 가정이 틀렸음을 보일 것이다.

먼저 z-test 를 위해서는 정규분포(normal distribution)으로의 근사가 필요하다. 일단 mean=81.2 고 std=8.946 이다. 그리고 N이 충분히 큰가 따져봐야 하는데… 몇십개도 아니고 5천개쯤 되니 따져볼 필요도 없긴 한데 통상적으로 따지는 N*P=81>=5 && N*(1-P)=5588>=5 도 만족한다.

일단 원문의, 그리고 사용자들의 주장은 P!=0.0144 이라는 것이므로 이것을 h1(대립가설) 로 놓고 P=0.0144 을 h0(귀무가설) 로 놓는다. 이렇게 두고 z-test 를 실시하면…

[h,p] = ztest(e1, mean, std) % e1=count of occured event=42
h = 1
p = 1.1694e-05

이게 의미하는 바를 해석하면… h=1 라는 것은 h0가 참일 확률이 5% 이하라는 것이다. 더 나아가서, h0가 참이라고 했을 때 이런 일이 일어날 확률은 1.2*10^-5 이하라는 뜻이다. 보통 통계적으로 설득력있다고 평가할 때 p=5% 를 쓰고 더 엄격하게 적용할때는 p=1% 를 쓰는데 이런 확률이라는 건….그냥 h0(당첨확률이 1.44%라는 가정)가 거짓이라는 것이다.

여기서 끝내도 되는데… 사실 사용자들이 진짜 주장하고 싶은 것은 P<0.0144 일 것이다.(위의 테스트는 P<0.0144 이거나 P>0.0144임을 뜻한다.) 이 때에 대해서도 z-test 을 실시해보자. h1 이 P<0.0144 가 되고 h0 는 P>=0.0144 가 된다.

[h,p] = ztest(e1, mean, std,’Tail’,’left’)

h =     1
p =   5.8472e-06

마찬가지다. 높을 리는 더더욱 없다.

그래서 1.44% 는 주작인 것을 보였는데… 그렇다면 실제 확률은 얼마일까? MLE 추정을 하면 가장 개연성이 높은 값은 0.745%, 95% 신뢰구간은 [0.54% 1.01%]이다.

[phat, pci] = binofit(e1, N)

역시 1.44% 는 신뢰구간에 들어가지도 않는다. z-test 에서 확인했으니 당연하지만… MLE에 대한 설명은 생략한다.

직접 계산해보고 싶은 사람을 위해 MATLAB 문서를 첨부한다. html 파일이므로 만일 확장자 없이 다운로드되는 문제를 겪는 경우 파일 이름을 수정하면 된다. FF에서 이런 문제가 생기는데 왜인지 모르겠다.

https://dl.dropboxusercontent.com/u/47197166/scam%20of%20destiny%20child.html